"공식은 다 아는데,

그림이 머릿속에서 안 돌아갔어요."

 

이번 시험이 끝나고

기하를 본 아이들에게서 가장 많이 들은 말이에요.

 

외운 것이 부족해서가 아니라,

문제 속 그림을 손으로 다시 그려 보고

조건을 그 위에 옮겨 보는 시간이 부족했다는 뜻이지요.

 

안녕하세요, 강의하는아이들입니다. ^^

 

오늘은 잠신고 2학년 2학기 중간고사 기하 22문항을

모두 직접 풀어 보며,

아이들이 어디서 멈췄고 어디서 다시 길을 찾을 수 있는지 정리해 보았습니다.

 

 

────────────────

① 시험, 한눈에 보기

◈ 과목 : 기하

◈ 범위 : 이차곡선 ~ 공간도형(직선과 평면의 위치 관계, 삼수선의 정리, 정사영)

◈ 문항 수 : 총 22문항 (선택형 20 + 서답형 2)

◈ 배점 : 총 100점 (선택형 90점 + 서답형 10점)

◈ 문항별 배점 : 선택형 3.7점 → 5.4점, 서답형 3점 · 7점

눈여겨보실 곳은 서답형이에요.

서답형2 한 문항이 7점으로,

선택형에서 가장 큰 20번(5.4점)보다도 배점이 큽니다.

이 한 문항을 끝까지 풀어냈는지가

점수에 꽤 큰 차이를 만들었어요.

▶ 단원별 비중

· 포물선 : 3문항

· 타원 : 2문항

· 쌍곡선 : 4문항

· 이차곡선 복합(두 곡선을 함께 다루는 문제) : 2문항

· 이차곡선의 접선 : 2문항

· 직선과 평면의 위치 관계 : 3문항

· 삼수선의 정리 : 3문항

· 정사영과 이면각 : 3문항

이차곡선이 13문항,

공간도형이 9문항이었어요.

문항 수는 이차곡선이 더 많지만,

공간도형도 최상 난도인 17번을 포함해

뒷부분 고배점 문항에 고르게 들어 있었습니다.

────────────────

② 난이도, 숫자로 읽어보면

◎ 하 : 2문항

◎ 중 : 5문항

◎ 중상 : 6문항

◎ 상 : 6문항

◎ 최상 : 3문항

※ 난이도는 강의하는아이들이 문항을 직접 풀어보고 판정한 기준입니다.

22문항 중 13문항(약 59%)은 중상 이하로,

교과서와 유형서에서 자주 만나는 문제들이었어요.

타원의 초점과 단축, 포물선의 평행이동,

쌍곡선의 방정식, 삼수선의 정리처럼

각 곡선의 정의와 표준형을 정확히 알고 있으면

차분히 풀 수 있는 문항들입니다.

다만 상 이상 9문항

(선택형 10 · 12 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20번, 서답형2)의 배점을 더하면 46.8점,

100점의 절반 가까이가 여기에 모여 있었어요.

이 구간에서 손이 멈췄다고 해서

개념을 모른다는 뜻은 아니에요.

정의를 '조건을 바꾸는 도구'로 써 보는 연습이

아직 덜 쌓였을 뿐이고,

2학기 중반인 지금 시작하면 기말까지 충분히 채울 수 있습니다.

────────────────

③ 점수가 갈린 문항

◎ 20번 | 쌍곡선과 포물선, 두 점의 x좌표가 같다는 조건 (5.4점 · 최상)

쌍곡선의 꼭짓점을 이용해 포물선을 만들고,

두 곡선이 만나는 점과

쌍곡선이 한 가로선과 만나는 점의 x좌표가 같을 때

쌍곡선의 주축 길이를 구하는 문제입니다.

조건이 길어서

식을 모두 세우고 연립하려다 시간이 부족해진 아이들이 많았을 거예요.

실마리는 쌍곡선의 대칭성입니다.

x좌표가 같은 쌍곡선 위의 두 점은

x축에 대해 서로 마주 보고 있으니,

교점의 높이가 바로 가로선의 높이(부호만 반대)라는 걸 알 수 있어요.

이 한 걸음을 떠올리면

미지수 하나짜리 간단한 방정식으로 정리됩니다.

긴 조건을 만나면 바로 계산하기보다

"이 곡선은 어떤 대칭을 가지고 있지?"를 먼저 묻는 습관이

이 문제의 열쇠였어요.

◎ 17번 | 정육면체 속 가장 짧은 선분과 그 그림자 (5.1점 · 최상)

정육면체의 한 모서리 위의 점과

대각선 위의 점을 잇는 선분이 가장 짧을 때,

그 선분을 한 평면에 비춘 그림자(정사영)의 길이를 묻는 문제입니다.

"가장 짧다"는 말을

"대각선과 수직이다"로 바꾸는 것까지는 해냈더라도,

그림만으로 그 위치를 찾으려다 길을 잃기 쉬워요.

정육면체는 꼭짓점에 좌표를 붙이기 아주 좋은 도형이에요.

좌표를 잡으면 수직 조건이 한 줄짜리 식이 되고,

정사영의 길이도

"전체 길이에서 평면에 수직인 성분을 빼는" 계산으로 깔끔하게 끝납니다.

그림이 복잡할수록

좌표라는 도구를 꺼낼 줄 아는 아이가 훨씬 빨랐던 문항이었어요.

◎ 서답형2 | 쌍곡선의 정의, 점근선, 직각을 한 삼각형에 (7점 · 상)

쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리 합이 주어지고,

한 직선이 점근선과 평행하며

어떤 각이 직각이라는 조건으로 선분의 길이를 구하는 문제입니다.

조건이 세 갈래로 흩어져 있어서

하나씩은 이해해도 서로 연결하지 못해 아쉬웠던 아이들이 있었을 거예요.

핵심은 세 조건을

두 초점과 그 점이 만드는 직각삼각형 하나에 모으는 것입니다.

점근선과 평행하다는 것은 기울기,

즉 직각삼각형의 두 변의 비를 알려 주고,

쌍곡선의 정의는 두 변의 차를 알려 줘요.

그림 위에 조건을 하나씩 적어 넣다 보면

길이가 차례로 정해지는 문제였습니다.

7점짜리 서술형인 만큼

"이 조건이 그림의 어디를 정해 주는지"를

한 줄씩 적는 연습이 그대로 점수로 이어졌을 거예요.

────────────────

④ 의외의 복병

◎ 2번 | 정육면체에서 직선 세기 (3.8점)

정육면체의 모서리를 연장한 직선들 가운데

대각선과 꼬인 위치에 있는 직선,

면의 대각선과 수직인 직선,

한 평면과 평행한 직선의 개수를 각각 세는 문제입니다.

어려운 계산은 없지만

하나하나 확인하다 보면 시간이 꽤 걸려요.

특히 "수직"에는

만나지 않아도 90°를 이루는 꼬인 위치의 직선까지 들어간다는 점,

여기서 아쉬워한 아이들이 있었을 거예요.

앞 번호라고 서두르기보다

기준을 정해 두고 차근차근 세는 것이 좋았던 문항입니다.

◎ 13번 | 점근선 두 개로 쌍곡선 완성하기 (4.6점)

두 점근선의 식과 한 초점의 x좌표가 주어지고,

쌍곡선의 방정식에서 계수의 합을 구하는 문제입니다.

두 점근선이 만나는 점이 쌍곡선의 중심이고,

기울기가 두 축의 길이의 비라는 것만 알면

방향은 바로 잡혀요.

다만 중심이 원점이 아니라서

식을 세우고 전개하는 과정이 길고,

부호 하나만 놓쳐도 답이 달라집니다.

개념은 알지만 시간이 아까웠던,

그래서 꼼꼼한 전개 습관이 필요했던 문항이었어요.

────────────────

⑤ 서답형, 두 문항의 무게가 달랐어요

· 서답형1 (3점) 직선과 평면의 수직, 사면체의 부피 → 중

· 서답형2 (7점) 쌍곡선의 정의와 점근선, 직각 조건 → 상

서답형1은

"직선이 평면에 수직이면, 그 평면 위의 모든 직선과 수직이다"라는

교과서 성질 하나로 높이를 찾는 문항이었어요.

꼭 챙겨야 하는 3점이었습니다.

서답형2는 위에서 살펴본 것처럼

세 가지 조건을 하나의 그림으로 모아야 하는 문항이라

두 문항 사이의 난이도와 배점 차이가 컸어요.

서답형은 시험지 맨 뒤에 있어 시간에 쫓기기 쉬운데,

서답형1처럼 짧게 끝나는 문항을 먼저 확보해 두는 것도

좋은 시험 전략이 됩니다.

────────────────

⑥ 그래서, 다음 시험은 이렇게 준비합니다

1. 이차곡선은 '정의'로 거리를 바꾸는 연습

10번, 19번, 서답형2처럼

두 초점까지의 거리의 합이나 차를 이용하는 문제가 여럿 나왔어요.

"이 길이를 다른 길이로 바꿀 수 있을까?"를

먼저 떠올리는 연습을 하면

복잡해 보이던 최솟값·넓이 문제가 짧아집니다.

2. 입체 문제는 좌표를 잡아 보는 연습

12번, 14번, 17번은

그림으로도 풀 수 있지만 좌표를 잡으면 훨씬 빨라지는 문제였어요.

정육면체나 사각뿔처럼 길이가 정해진 입체는

꼭짓점에 좌표를 붙여 보는 연습을 해 두면

이어지는 공간좌표와 벡터 단원까지 자연스럽게 연결됩니다.

3. 삼수선·정사영은 '높이'와 '바닥'으로 나누어 보기

8번과 16번은

평면까지 내린 수선의 길이(높이)와

평면 위에서의 거리(바닥)를 나누어 계산하는 문제였어요.

그림 옆에 작은 직각삼각형을 따로 그려

어떤 변이 높이이고 어떤 변이 바닥인지 표시하는 습관이

실수를 크게 줄여 줍니다.

────────────────

기하는 정답보다

"그림을 어떻게 보았는지"가 더 많이 드러나는 과목이에요.

"여기서 이 각이 직각이니까 이 두 변의 비가 정해져요",

"이 점은 대칭이라 높이가 같아요"처럼

아이가 자기 그림을 말로 설명할 수 있을 때

그 개념은 비로소 아이의 것이 됩니다.

이번 시험지가

기말고사까지 남은 시간을 어떻게 채우면 좋을지

조용히 알려 주는 안내서가 되었으면 해요.

아이가 한 장의 그림을 끝까지 붙들고 생각하는 힘을 기를 수 있도록,

강의하는아이들이 곁에서 함께 하겠습니다.