"선생님, 다 배운 성질인데

그림에서는 안 보였어요."

 

이번 대치중 2학년 시험을 보고 온 아이가

가방을 내려놓으며 한 말이에요.

 

이 한마디에

이번 시험의 성격이 고스란히 담겨 있습니다.

 

이등변삼각형, 외심과 내심, 평행사변형.

하나하나는 익숙한 성질인데,

그림 속에 숨어 있으면 쉽게 눈에 들어오지 않거든요.

 

안녕하세요, 강의하는아이들입니다. ^^

 

24문항을 모두 직접 풀어 보며

아이들이 어디에서 오래 머물렀는지,

어머님과 함께 차근차근 짚어 보겠습니다.

 

 

① 시험 한눈에 보기

 

 

 

◈ 시험범위 : 삼각형의 성질 ~ 사각형의 성질

◈ 문항 수 : 총 24문항 (전 문항 객관식)

◈ 배점 : 총 100점 (3점 4문항 + 4점 12문항 + 5점 8문항)

◈ 5점 문항 : 10, 12, 15, 16, 19, 21, 23, 24번

 

서답형 없이

24문항 모두 객관식으로 출제되었습니다.

 

다만 '옳지 않은 것은?', '아닌 것은?'처럼

보기 다섯 개를 모두 따져 봐야 하는 문항이

7개(1, 4, 8, 13, 14, 16, 18번)나 있었어요.

 

답 하나를 찾고 바로 넘어가기보다,

보기마다 "왜 그런지"를 확인하는 꼼꼼함이 필요한 시험이었습니다.

 

 

▶ 단원별 비중

 

· 이등변삼각형과 직각삼각형의 합동 : 1~6번, 6문항

· 삼각형의 외심과 내심 : 7~12번, 6문항

· 평행사변형 : 13, 14, 22, 24번, 4문항

· 여러 가지 사각형 : 15, 17, 18, 20, 23번, 5문항

· 평행선과 넓이 : 16, 19, 21번, 3문항

 

삼각형의 성질 12문항, 사각형의 성질 12문항으로

두 단원이 정확히 반반 나왔어요.

 

그런데 5점 문항 8개 중 6개가

사각형 단원 쪽에 놓여 있었습니다.

 

시험 후반부, 배점이 큰 문제에서

사각형과 넓이를 얼마나 깊이 이해했는지가 드러난 셈이에요.

 

 

② 난이도 숫자로 읽어보면

 

 

◎ 하 : 3문항

◎ 중 : 8문항

◎ 중상 : 9문항

◎ 상 : 4문항

◎ 최상 : 0문항

 

※ 난이도는 강의하는아이들이 문항을 직접 풀어보고 판정한 기준입니다.

 

24문항 중 20문항(약 83%)이 중상 이하로,

교과서와 유형서에서 한 번쯤 만나본

개념 확인·적용·응용 문항이었어요.

 

1번 꼭지각의 이등분선,

4번 직각삼각형의 합동 조건,

9번 내심과 각의 크기,

17번 대각선의 길이가 같은 사각형처럼

성질을 정확히 알고 있으면 차분히 풀 수 있는 문제들입니다.

 

최상 난이도 문항은 없었지만,

상 난이도 4문항(12, 16, 20, 21번)이

합쳐서 19점이었어요.

 

점수 차이는 주로 이 네 문항과,

보기를 끝까지 판별해야 하는 중상 문항들에서 생겼습니다.

 

여기서 아쉬움이 남은 아이들도

너무 걱정하지 않으셔도 돼요.

 

성질을 몰라서라기보다,

그림 속에서 그 성질을 "찾아내는" 연습이

아직 조금 덜 되었을 뿐인 경우가 대부분이거든요.

 

 

③ 점수가 갈린 문항

 

◎ 12번 | 직각삼각형의 내심과 외심 (5점)

 

한 직각삼각형 안에

내심과 외심이 함께 들어 있고,

두 점과 한 꼭짓점이 만드는 각을 묻는 문제입니다.

 

외심과 내심을 따로 물으면 잘 푸는 아이들도,

한 그림에 같이 나오면 손이 멈추곤 해요.

 

열쇠는 두 가지예요.

"직각삼각형의 외심은 빗변의 중점"이라

꼭짓점과 이으면 이등변삼각형이 생기고,

"내심은 각의 이등분선 위"에 있으니

직각이 반으로 나뉜다는 것.

 

두 성질을 각각 그림에 표시하고 나면

남은 건 각을 빼는 일뿐입니다.

 

 

◎ 16번 | 넓이가 같은 삼각형 찾기 (5점)

평행사변형 안에 여러 삼각형이 그려져 있고,

"넓이가 나머지 넷과 다른 하나"를 고르는 문제예요.

 

여기서 쓰이는 성질은 딱 하나,

"밑변이 같고, 두 평행선 사이에 꼭짓점이 있으면 넓이가 같다"입니다.

 

어려운 건 이 성질을

한 번이 아니라 세 번 이어서 써야 한다는 점이에요.

 

삼각형 하나의 넓이를 옆 삼각형으로 옮기고,

또 옆으로 옮기고…

이렇게 바통을 넘기듯 이어 가야 답이 보입니다.

 

어떤 평행선을 쓸지 먼저 표시해 두는 습관이 있으면

훨씬 수월해져요.

 

 

◎ 20번 | 정사각형 속에 숨은 정삼각형 (4점)

정사각형 안에 점 하나를 잡고

주어진 각 하나로 다른 각을 구하는 문제입니다.

 

계산만으로 밀어붙이면 길을 잃기 쉬운데,

"정사각형의 한 변과 같은 길이의 선분이 또 있다"는 데에 주목하면

정삼각형이 하나 숨어 있다는 게 보여요.

 

정삼각형을 찾는 순간

60°가 저절로 따라 나오고,

문제가 한 줄로 끝납니다.

 

"같은 길이가 세 개 보이면 정삼각형부터 의심해 보기",

도형 단원 전체에 두루 쓰이는 눈이에요.

 

 

④ 의외의 복병

◎ 8번·14번 | 보기마다 합동을 확인해야 했던 문항 (각 4점)

8번은 내심을 지나고 밑변에 평행한 선분,

14번은 평행사변형의 대각선에 내린 두 수선이 나오는 문제예요.

 

둘 다 '옳지 않은 것'을 고르는 형태라

보기 다섯 개를 하나씩 확인해야 했습니다.

 

8번은 엇각과 각의 이등분선으로

이등변삼각형 두 개를 찾아야 하고,

14번은 직각삼각형의 합동(RHA)과

새로 생기는 평행사변형을 함께 봐야 해요.

 

보기 하나하나가 작은 증명이라

생각보다 시간이 많이 들었을 거예요.

 

 

◎ 21번 | 사각형의 넓이를 삼각형으로 옮기기 (5점)

사각형의 한 꼭짓점에서

대각선과 평행한 직선을 그어

사각형을 같은 넓이의 삼각형으로 바꾸는 문제입니다.

 

교과서에 나오는 '등적변형'인데,

막상 시험에서 만나면

"어느 삼각형과 어느 삼각형이 같지?"에서 머뭇거리게 돼요.

 

평행선을 찾고, 그 평행선을 사이에 둔 두 삼각형을 짝지어 보면

사각형 전체가 큰 삼각형 하나로 바뀌고,

나머지는 비율 계산만 남습니다.

 

 

◎ 3·11·23번 | 각을 여러 단계로 따라가는 문항

3번은 이등변삼각형이 연달아 이어진 그림,

11번은 내심의 각을 두 번 이어서 쓰는 문제,

23번은 직사각형 종이를 접는 문제였어요.

 

어렵다기보다는 단계가 많아서,

같은 각을 그림에 바로바로 적어 두지 않으면

중간에 길을 잃기 쉬운 문항들입니다.

 

 

⑤ 5점 문항 한눈에 다시 보기

이번 시험은 서답형이 없어서,

배점이 큰 5점 문항 8개를 살펴보면 흐름이 보입니다.

 

· 10번 외심과 중심각 → 중상

· 12번 직각삼각형의 내심과 외심 → 상

· 15번 정사각형의 대각선과 합동 → 중상

· 16번 넓이가 같은 삼각형 찾기 → 상

· 19번 사다리꼴의 넓이의 비 → 중상

· 21번 사각형의 등적변형 → 상

· 23번 직사각형 종이접기 → 중상

· 24번 평행사변형과 각의 이등분선 → 중상

 

5점 문항이라고 해서 모두 어려운 건 아니었어요.

8개 중 5개는 중상 난이도로,

성질 두 개를 차분히 연결하면 풀리는 문제들이었습니다.

 

그래서 오히려

"아는 문제인데 시간이 모자랐어요"라는 아쉬움이

많이 남은 구간이에요.

 

또 하나 눈여겨볼 점은 18번이에요.

'두 대각선이 수직인 평행사변형은 마름모'임을 설명하는

증명 과정의 빈칸을 채우는 문제였는데,

서술형은 없었지만

근거를 정확히 아는지를 객관식으로 확인한 셈입니다.

 

 

⑥ 그래서 다음 시험은 이렇게 준비합니다

 

 

1. 평행선과 넓이, 이어서 옮기는 연습

 

"밑변이 같고 높이가 같으면 넓이가 같다"를

한 번이 아니라 두세 번 연달아 쓰는 연습을 합니다.

 

어느 평행선을 쓸지 먼저 색칠해 두고,

넓이를 옆 삼각형으로 넘겨 보는 거예요.

 

이 감각은 3학년 닮음과 넓이의 비까지 그대로 이어집니다.

 

 

2. 그림에 같은 각·같은 변 표시하기

 

이등변삼각형, 정삼각형, 합동인 삼각형은

대부분 그림 속에 조용히 숨어 있어요.

 

같은 길이에는 같은 표시를,

같은 각에는 같은 기호를 바로 적어 두면

숨은 도형이 저절로 보이기 시작합니다.

 

 

3. 보기 다섯 개, 근거로 판별하기

 

'옳지 않은 것' 문항은

보기 하나하나가 작은 증명이에요.

 

"이건 RHA 합동이라 맞아요",

"이건 대각선이 서로 이등분하지 않아서 아니에요"처럼

이유를 한 마디씩 붙이며 판별하는 연습을 합니다.

 

 

 

시험지를 다시 펼쳐 보는 건

지난 점수를 따지기 위해서가 아니라,

다음 시험에서 무엇을 다르게 할지 찾기 위해서예요.

 

도형 단원은

성질을 외우는 것만으로는 조금 부족하고,

그 성질이 그림 어디에 숨어 있는지 찾아낼 수 있어야

비로소 아이의 것이 됩니다.

 

아이가 그림을 가리키며

"여기가 빗변의 중점이라서 이 두 선분이 같아요"라고

스스로 설명할 수 있을 때,

그 개념은 온전히 아이의 것이 되지요.

 

기말고사까지 남은 시간,

우리 아이가 그림 속 성질을 한 걸음 더 빨리 알아볼 수 있도록

강의하는아이들이 곁에서 함께하겠습니다.