"공식은 다 아는 건데,

그림을 보니까 어디서부터 시작해야 할지 모르겠더라고요."

 

이번 경기여고 시험을 보고 온 아이들에게서

가장 많이 들은 이야기입니다.

 

직선, 원, 평행이동, 집합.

하나하나는 교과서에서 다 배운 내용인데,

뒤쪽 문항으로 갈수록

그 개념들이 종이접기와 접선, 조건 속에 섞여서 나왔거든요.

 

안녕하세요, 강의하는아이들입니다. ^^

 

이번 시험 23문항을 모두 직접 풀어 보면서,

아이들이 어디에서 오래 머물렀는지

어머님과 함께 하나씩 살펴보겠습니다.

 

 

① 시험 한눈에 보기

 

 

◈ 과목 : 공통수학2 (1학년)

◈ 시험범위 : 평면좌표 ~ 집합

◈ 문항 수 : 총 23문항 (객관식 20 + 서답형 3)

◈ 서답형 구성 : 답만 쓰는 단답형 2문항 + 풀이를 쓰는 서술형 1문항

◈ 배점 : 총 100점 (객관식 85점 + 서답형 15점)

 

이번 시험은 객관식 배점이

1번 3.9점에서 20번 4.6점까지

뒤로 갈수록 조금씩 커지는 구조였어요.

 

그래서 16번부터 20번까지

마지막 다섯 문항만 합쳐도 22.8점이 됩니다.

 

앞쪽 문항을 실수 없이 빠르게 풀고,

뒤쪽 문항에 시간을 얼마나 남겨 두느냐가

그대로 점수로 이어지는 시험이었습니다.

 

 

▶ 단원별 비중

 

· 도형의 이동 : 7문항

· 원의 방정식 : 6문항

· 집합 : 6문항

· 평면좌표와 직선의 방정식 : 4문항

 

23문항 중 17문항이 도형의 방정식 단원이었어요.

 

특히 평행이동과 대칭이동은

1·2번처럼 단독으로도 나왔지만,

12번(대칭이동한 세 점을 지나는 원),

17번(종이접기),

서답형2번(거리의 합의 최솟값)처럼

다른 개념과 함께 섞여서 계속 다시 등장했습니다.

 

 

② 난이도 숫자로 읽어보면

 

 

◎ 하 : 5개

◎ 중 : 5개

◎ 중상 : 6개

◎ 상 : 6개

◎ 최상 : 1개

 

※ 난이도는 강의하는아이들이 문항을 직접 풀어보고 판정한 기준입니다.

 

23문항 중 16문항(약 70%)은 중상 이하로,

교과서와 유형서에서 한 번쯤 만나본 문제들이었어요.

 

1번 직선의 평행이동,

3번 세 점을 지나는 원,

4번 서로소인 집합의 원소의 개수,

5번 원과 직선의 위치 관계처럼

공식을 정확히 알고 있으면

차분히 풀 수 있는 문항들이 앞쪽에 놓여 있었습니다.

 

상 이상 7문항은

16~20번과 서답형 1·3번이었고,

이 일곱 문항의 배점을 합하면 32.8점이에요.

 

여기서 아쉬움이 남은 아이들도

너무 걱정하지 않으셔도 됩니다.

 

공식을 몰라서가 아니라,

아직 '그림과 조건을 식으로 옮기는' 연습이

덜 되었을 뿐이에요.

1학년 2학기 지금 시작해도 충분히 따라갈 수 있는 부분입니다.

 

 

③ 점수가 갈린 문항

 

 

◎ 20번 | 약수의 집합과 원소의 합 조건 (4.6점 · 최상)

전체집합 U는 k 이하의 자연수,

집합 A는 m의 약수의 집합일 때,

두 가지 조건을 만족시키는 경우를 찾는 문제입니다.

이번 시험에서 가장 생각할 거리가 많은 문항이었어요.

첫 번째 실마리는

n(A ∪ Bᶜ) = 8이라는 조건이

사실은 "전체 원소 수에서 B − A의 원소 2개를 뺀 것"이라는 점입니다.

여기서 k = 10이 먼저 정해져요.

두 번째 실마리는

"B의 원소의 합이 A보다 3 크다"는 말을

"A에만 있는 원소들의 합이 10"으로 바꿔 읽는 것입니다.

이렇게 조건을 숫자로 번역하고 나면

m = 6, 9 두 경우만 남아요.

"이 조건은 결국 무슨 숫자를 말하는 걸까?"

한 번 멈춰 바꿔 말해 보는 습관이

이 문항의 열쇠였습니다.

◎ 17번 | 정사각형 종이접기 (4.5점 · 상)

한 변이 15인 정사각형 종이를 접어

점 O는 윗변 위로, 점 F는 선분 DE 위로 옮겨질 때,

접힌 아랫부분 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

종이를 접는다는 건

수학으로 말하면 '접는 선에 대한 대칭이동'이에요.

그리고 접어도 길이는 변하지 않으니까,

OF = 10이었던 길이가

옮겨진 뒤에도 10이라는 점을 이용해야 합니다.

높이 차이가 6이니

가로 길이는 8이 되고,

여기서부터 접는 선의 기울기가 보이기 시작해요.

"접는다 = 대칭이동, 길이는 그대로"

이 한 줄을 떠올리는지가

이 문항의 갈림길이었습니다.

◎ 16번 | 접선이 만드는 둔각삼각형 (4.5점 · 상)

원 밖의 점 P에서 원에 그은 두 접선이

x축과 만나서 생기는 삼각형이

∠P가 둔각인 삼각형이 되도록 하는 k를 찾는 문제입니다.

두 접선이 이루는 각의 절반을 θ라 하면

sin θ = (반지름) ÷ (P와 중심 사이의 거리)로 나타낼 수 있어요.

∠P가 둔각이려면 θ가 45°보다 커야 하고,

여기서 "√2를 1.4로 계산한다"는 조건이 쓰입니다.

어렵지 않은 개념 두 개가 이어 붙어 있지만,

"둔각"이라는 말을 각의 범위로,

다시 길이의 범위로 바꾸는 두 번의 번역이 필요해서

중간에 멈춘 아이들이 많았을 거예요.

그림을 크게 그리고

직각삼각형 하나를 따로 떼어 보는 습관이

가장 큰 힘이 됩니다.

④ 의외의 복병

◎ 18번 | 삼각형 안의 격자점 세기 (4.6점)

두 직선 y = −x/3, y = 3x가 서로 수직이라는 점을 이용해

이등변삼각형 조건으로 m = 1/2을 구하고,

삼각형 OBC 안의 격자점을 세는 문제입니다.

앞부분은 잘 풀었는데

마지막 '세기'에서 아쉬워한 아이들이 많았을 거예요.

변 위의 점을 빼먹거나

꼭짓점을 두 번 세기 쉬운 구조라,

x = 0, 1, 2, 3, 4 한 줄씩 나누어 세는

차분한 방법이 가장 안전합니다.

◎ 10번 | 항상 같은 점을 지나는 직선 (4.2점)

y = kx − 3k − 1은 k가 바뀌어도

항상 점 (3, −1)을 지나는 직선이에요.

이걸 알아차리면

직선이 그 점을 중심으로 빙글 도는 모습이 그려지고,

제3사분면에서 만나는 범위가 그래프로 보입니다.

식으로만 풀려고 하면

부등식이 길어지고 부호를 놓치기 쉬운 문항이라,

"이 직선은 어디를 꼭 지나지?"를 먼저 묻는 습관이 시간을 많이 아껴 줍니다.

⑤ 서답형 문항마다 난이도 차이가 컸어요

서답형은 3문항, 각 5점이었습니다.

· 서답형1 두 원과 접선, 선분의 비 k 구하기 (단답형) → 상

· 서답형2 대칭이동으로 거리의 합의 최솟값 (단답형) → 중상

· 서답형3 배수·약수 집합의 조건과 순서쌍 (서술형) → 상

세 문항 모두

답이 하나로 끝나지 않는다는 공통점이 있었어요.

서답형1번은 점 P가 중점 양쪽에 하나씩 생겨서

k = 2 + √3, 2 − √3 두 값을 모두 써야 하고,

서답형2번도 두 점 P, Q의 좌표를 모두 맞혀야 합니다.

단답형은 부분 점수가 없어서

하나만 쓰고 멈추면

아는 문제에서 5점이 아쉽게 빠질 수 있어요.

서술형인 서답형3번은

a는 6의 약수, b는 12 또는 24라는 데서 출발해

경우를 하나씩 나누어 확인하는 과정을 써야 했습니다.

표를 그려 경우를 정리하고

"그래서 이 경우만 남는다"를 한 줄로 밝혀 두면

채점하시는 선생님께도 생각의 흐름이 또렷하게 전달됩니다.

 

 

⑥ 그래서 다음 시험은 이렇게 준비합니다

 

1. 그림 속 조건을 좌표로 옮기기

종이접기는 대칭이동으로,

두 직선에 접하는 원은 '중심이 각의 이등분선 위'로,

접선이 만드는 각은 직각삼각형으로.

 

그림에 적힌 조건을

좌표와 식으로 옮겨 적는 연습을 꾸준히 하면

16·17·19번 같은 문제가 훨씬 덜 낯설어집니다.

 

 

2. 집합의 조건을 숫자로 번역하기

"원소의 합이 3만큼 크다",

"한 개만 신청한 학생 수"처럼

말로 된 조건을

원소의 개수와 합의 식으로 바꿔 보는 연습이 필요해요.

 

이 번역 습관은

기말고사에서 이어지는 명제 단원까지 그대로 이어집니다.

 

 

3. "다른 경우는 없을까?" 끝까지 확인하기

이번 시험은 6번(a 값 두 개),

20번(m 값 두 개),

서답형 세 문항 모두

답이 두 개 이상 나오는 문제가 많았어요.

 

답을 하나 구했을 때 바로 멈추지 않고

"혹시 반대쪽도 될까?"를 한 번 더 묻는 습관이

아는 문제의 점수를 지켜 줍니다.

 

 

 

고등학교 첫 해의 2학기 시험지는

아이가 공식을 얼마나 외웠는지보다

그 공식을 낯선 그림 위에 얼마나 '얹을 수 있는지'를 보여 줍니다.

 

같은 대칭이동이라도

교과서에서는 점 하나를 옮기는 문제였는데,

시험장에서는 접힌 종이가 되어 나타나니까요.

 

아이가 그림을 가리키며

"여기가 접는 선이니까 이 두 길이가 같아요"라고

자기 말로 설명할 수 있게 되면,

그 개념은 어떤 문제 속에서도 아이의 것이 됩니다.

 

기말고사까지 남은 시간,

우리 아이가 낯선 조건 앞에서도 차분히 그림부터 그려 볼 수 있도록

강의하는아이들이 곁에서 함께 하겠습니다.