이번 중대부고 미적분Ⅰ 중간고사는

객관식보다 '쓰는 문제'가 더 무거운 시험이었습니다.

 

100점 중 45점이 서답형이었고,

그중 두 문항은 풀이 과정까지 써야 하는 9점짜리였어요.

 

답을 고르는 힘보다

"왜 그렇게 되는지"를 적어 내는 힘이

점수를 많이 좌우한 시험이었습니다.

 

안녕하세요, 강의하는아이들입니다. ^^

 

극한과 미분을 본격적으로 배우는 과목이라

아이들도 낯설고, 지켜보시는 어머님도 궁금하셨을 거예요.

 

22문항을 하나하나 직접 풀어보며

어디에서 시간이 걸리고, 어디에서 점수가 갈렸는지

차분히 짚어 보겠습니다.

 

 

① 시험 한눈에 보기

 

 

◎ 과목 : 미적분Ⅰ

◎ 범위 : 함수의 극한과 연속 ~ 미분 (미분계수·도함수·접선)

◎ 문항 수 : 총 22문항 (객관식 14 + 서답형 8)

◎ 배점 : 총 100점 (객관식 55점 + 서답형 45점)

◎ 서답형 구성 : 답만 쓰는 단답형 6문항 (27점) + 풀이 과정을 쓰는 서술형 2문항 (각 9점)

가장 눈에 띄는 점은

서답형 비중이 45점으로 매우 컸다는 것입니다.

 

특히 마지막 서술형 두 문항은

"풀이 과정과 답을 모두 작성하시오"라는 문항이라

답이 맞아도 과정이 빈약하면

점수를 다 받기 어려운 구조였어요.

 

 

▶ 단원별 비중

 

· 함수의 극한 : 8문항

· 함수의 연속 : 4문항

· 미분 (미분계수·도함수·접선) : 10문항

 

미분이 10문항으로 가장 많았지만,

변별 문항은 오히려 극한과 연속에서

'교점의 개수', '극한값이 존재할 조건'을 묻는 형태로 많이 나왔습니다.

 

 

② 난이도 숫자로 읽어보면

 

 

◎ 하 : 3문항

◎ 중 : 6문항

◎ 중상 : 5문항

◎ 상 : 6문항

◎ 최상 : 2문항

 

※ 난이도는 강의하는아이들이 문항을 직접 풀어보고 판정한 기준입니다.

 

22문항 중 14문항(약 64%)은 중상 이하로,

교과서와 유형서에서 자주 만나는 문제들이었어요.

 

미분계수의 정의, 곱의 미분법,

접선의 방정식처럼

개념을 정확히 알고 있으면 차분히 풀 수 있는 문항들입니다.

 

다만 상 이상 8문항의 배점을 더하면 44.9점,

전체 점수의 절반 가까이가 여기에 걸려 있었어요.

 

그래서 기본 문항을 안정적으로 챙기는 것과

상 이상 문항에 손을 대 보는 것,

두 가지가 모두 필요한 시험이었습니다.

 

상 이상 문항에서 아쉬움이 남았더라도

너무 걱정하지 않으셔도 됩니다.

 

이 문항들은 공식을 몰라서가 아니라,

조건을 그래프나 식으로 옮기는 연습이

아직 덜 되어 있을 때 막히는 문제들이에요.

이 연습은 지금부터 해도 충분히 따라갈 수 있습니다.

 

 

③ 점수가 갈린 문항

 

 

◎ 14번 | 직선 y=t와 그래프의 교점 개수 (5.2점)

 

x≤0에서는 지수함수, x>0에서는 로그함수로 이루어진

절댓값 그래프가 주어지고,

직선 y=t와 만나는 점의 개수를 g(t)라 할 때

g(t)의 극한 조건으로 상수를 찾는 문제입니다.

 

아이들이 많이 아쉬워하는 지점은

"교점의 개수가 바뀌는 높이"를 빠짐없이 찾는 부분이에요.

 

그래프를 정확히 그리면

교점 개수가 바뀌는 높이가 세 군데로 정리되는데,

이 세 곳 중 하나라도 놓치면 조건이 맞지 않습니다.

 

이런 문제는 머릿속으로 하지 말고,

그래프를 그린 뒤 가로선을 아래에서 위로 천천히 올려 보며

개수를 직접 적어 보는 습관이 가장 큰 힘이 됩니다.

 

 

◎ 서답형6번 | 두 개의 교점 개수 함수 (5.5점)

 

x<0과 x≥0에서 식이 다른 함수 f(x)에 대해

y=f(x)와 y=|f(x)|, 두 그래프의 교점 개수를

동시에 다뤄야 하는 문제입니다.

 

이번 시험에서 가장 생각할 거리가 많은 문항이었어요.

 

|f(x)|는 x축 아래 부분이 위로 접혀 올라가기 때문에

그래프 모양이 달라지고,

교점 개수가 바뀌는 높이도 함께 달라집니다.

 

"절댓값을 씌우면 그래프가 어떻게 바뀌지?"를

그림으로 먼저 정리해 둔 아이라면

훨씬 덜 막혔을 문제입니다.

 

 

◎ 12번 | 주기함수와 실근의 개수 (5점)

 

일정한 간격으로 같은 모양이 반복되는 함수에서

방정식 f(x)=0의 실근이 정해진 개수가 되도록

정수 a, b의 조건을 찾는 문제입니다.

 

식 정리 자체는 어렵지 않은데,

"한 주기 안에 근이 몇 개인지"를 먼저 세고

그것을 구간 전체로 늘려 가야 답이 나와요.

 

한 덩어리만 정확히 보고

나머지는 반복된다는 점을 이용하는 것,

그게 이 문항이 짚어준 부분입니다.

 

 

④ 의외의 복병

◎ 7번 | t → -∞ 의 부호 (4점)

 

√(16t²+9)/t 의 극한을 먼저 구한 뒤,

다섯 개 구간 중 "최댓값이 존재하지 않는 구간의 개수"를 묻는 문제입니다.

 

함정은 t가 음수 쪽으로 간다는 점이에요.

 

t가 음수일 때는

근호 밖으로 꺼내면서 부호가 바뀌어

극한값이 4가 아니라 -4가 됩니다.

 

이 부호 하나를 놓치면

함수 모양이 뒤집혀서 답이 완전히 달라져요.

 

계산은 짧은데,

"지금 t가 양수인가, 음수인가?"를

한 번 멈춰 확인하는 습관이 있어야 맞힐 수 있는 문제였습니다.

 

 

◎ 11번 | 계수의 순서가 뒤집힌 두 함수 (5점)

f(x)=x³+ax²+bx+c와

g(x)=cx³+bx²+ax+1이 함께 나옵니다.

 

두 식을 나란히 보면

계수가 거꾸로 배열되어 있다는 걸 알 수 있는데,

이 관계를 알아차리면

"f의 근과 g의 근이 서로 역수"라는 사실로 풀이가 짧아져요.

 

알아차리지 못해도 풀 수는 있지만,

식을 하나하나 세우다 보면

시간이 꽤 많이 걸리는 문제였습니다.

 

조건이 많은 문제일수록

먼저 "주어진 식들 사이에 어떤 관계가 있지?"를

살펴보는 여유가 필요합니다.

 

 

⑤ 단답형·서술형 난이도 차이가 컸어요

서답형 8문항은 난이도 폭이 아주 넓었습니다.

 

· 서답형1 곱의 미분법 → 하

· 서답형2 극한의 성질 → 하

· 서답형3 절댓값 함수의 미분가능성 → 중

· 서답형4 접선과 원 → 상

· 서답형5 한쪽 극한과 무리식 → 상

· 서답형6 교점 개수 함수 → 최상

· 서답형7 극한의 대소 관계 (서술형 9점) → 중상

· 서답형8 연속 조건과 정수 계수 (서술형 9점) → 상

 

앞의 세 문항은

교과서 기본 문제 그대로라 꼭 챙겨야 하는 점수였고,

4번부터는 조건을 해석하는 힘이 필요했어요.

 

단답형은 부분 점수가 없어서

-3/2, 2/5, 25/2 같은 분수 답에서

계산 실수 하나가 그대로 감점이 됩니다.

 

서술형 두 문항은 각각 9점이라

풀이를 어떻게 쓰느냐가 중요했어요.

 

서답형7번은 x를 한없이 크게 보내며

분자와 분모의 차수를 비교해 계수를 정하는 과정을,

서답형8번은 "왜 f(0)=0이어야 하는지",

"왜 실근이 없어야 하는지"를 문장으로 써야 했습니다.

 

머릿속으로는 알고 있어도

글로 옮기면 빠지는 단계가 생기기 쉬워서,

평소에 풀이를 끝까지 써 보는 연습이 그대로 드러나는 문항이었어요.

 

 

⑥ 그래서 다음 시험은 이렇게 준비합니다

 

 

1. 그래프를 그리고, 가로선을 움직여 보는 연습

 

14번과 서답형6번처럼

"교점의 개수"를 묻는 문제는

그래프를 정확히 그린 뒤

y=t를 아래에서 위로 올려 가며 개수를 적는 것이 출발점입니다.

 

이 습관은 앞으로 배울 미분의 활용 단원,

나아가 수능 문제까지 그대로 이어집니다.

 

 

2. 조건을 만나면 부호와 경우부터 확인하는 연습

 

7번의 t → -∞, 6번의 'y절편이 양수',

서답형4번에서 점 C가 A와 겹치는 경우를 빼는 것처럼

조건 하나가 답을 바꾸는 문제가 많았어요.

 

풀기 전에 "이 조건이 무엇을 걸러 내지?"를

먼저 표시해 두는 습관이 필요합니다.

 

 

3. 풀이를 문장으로 끝까지 써 보는 연습

 

서술형 18점은

답보다 과정에서 점수가 나뉩니다.

 

"~이므로 ~이다"처럼

이유를 한 줄씩 붙여 쓰는 연습을

일주일에 몇 문제씩이라도 꾸준히 해 두면

서술형에서 흔들리지 않게 됩니다.

 

 

 

미적분Ⅰ은 계산을 잘하는 것만으로는

점수가 끝까지 올라가지 않는 과목입니다.

 

조건을 그림으로 옮기고,

그 이유를 말로 설명할 수 있을 때

극한과 미분이 비로소 아이의 도구가 돼요.

 

이번 시험지는 점수를 매기기 위한 종이가 아니라,

기말고사까지 무엇을 채워야 할지 알려 주는 지도라고 생각합니다.

 

남은 시간 동안

우리 아이가 한 줄 한 줄 자신 있게 풀이를 써 내려갈 수 있도록

강의하는아이들이 곁에서 함께 하겠습니다.