9월의 마지막 주입니다.

달력을 한 장만 넘기면 곧 11월이에요.

그 문턱에서 성적표 한 장이 도착합니다.

평가원이 수능 전에 보여주는 마지막 모의평가,

9월 모의평가의 성적표예요.

안녕하세요, 강의하는아이들입니다.

성적표의 숫자는 결과를 알려주지만

그 숫자가 어디서 왔는지는 알려주지 않아요.

오늘은 평가원의 채점 결과와 실제 문항을

나란히 펼쳐 놓고

그 빈칸을 함께 채워보려 합니다.

① 시험, 한눈에 보기

 

모두 30문항, 100점 만점입니다.

공통과목 22문항은

수학Ⅰ과 수학Ⅱ가 11문항씩,

정확히 반으로 나뉘었어요.

나머지 8문항은 아이가 고른 선택과목입니다.

배점으로 보면

2점 3문항, 3점 14문항, 4점 13문항.

이 가운데 공통과목 4점 열 문항,

9번부터 15번, 20번부터 22번까지가

40점을 쥐고 있어요.

이번 시험의 이야기는

대부분 이 열 문항 안에서 일어났습니다.

② 난이도, 숫자로 읽어보면

 

평가원이 발표한 수학 등급컷은

표준점수 기준으로

1등급 128점, 2등급 122점, 3등급 118점이에요.

※ 표준점수는 원점수를

'전체 수험생 가운데 어디쯤인가'로 바꿔 놓은 점수예요.

그래서 원점수와는 숫자가 다르게 나옵니다.

수학 표준점수 최고점은 137점,

이 점수를 받은 학생은 2,741명이었어요.

같은 날 국어 최고점이 144점이었으니

이번에는 국어가 수학보다

조금 더 매운 시험이었던 셈입니다.

그런데 어머님께 꼭 보여드리고 싶은 숫자는

따로 있어요.

1등급 비율, 5.55%.

1등급은 원래 상위 4%까지예요.

그런데 경계 점수에 학생이 많이 몰리면

같은 점수를 받은 학생이 모두 1등급이 됩니다.

5.55%라는 숫자는

그 경계선 위에 그만큼 많은 아이들이

나란히 서 있었다는 뜻이에요.

한마디로 줄이면 이렇습니다.

어려워서 갈린 시험이 아니라,

촘촘해서 갈린 시험.

그러니 등급이 한 칸 아쉽게 나왔다면

그건 실력의 문제라기보다

한두 점에 민감하게 반응하는

시험의 성격 때문일 가능성이 커요.

아이를 다그치기 전에

이 점을 먼저 헤아려 주시면 좋겠습니다.

선택과목은

확률과 통계 64.36%, 미적분 33.10%, 기하 2.54%였어요.

흥미로운 숫자가 하나 더 있습니다.

미적분을 고른 학생 가운데 36.03%가

사회탐구만 응시했어요.

과학탐구만 응시한 학생(32.03%)보다 많습니다.

'미적분이면 이과'라는 오래된 공식도

이제는 조금 내려놓을 때가 된 것 같아요.

※ 선택과목별 원점수 등급컷은 평가원이 발표하지 않아요.

온라인에 도는 원점수 컷은 추정치라는 점, 참고해 주세요.

③ 점수가 갈린 문항

 

15번 · 함수의 극한 (4점)

분수 꼴의 극한이 언제나 존재하도록 하는

t의 범위를 먼저 알려주고,

거꾸로 이차함수 f(x)를 찾아가게 하는 문제예요.

"0/0 꼴인 건 알았는데, t가 헷갈렸어요."

많은 아이들이 여기서 멈췄어요.

분모를 0으로 만드는 자리는 t를 따라 움직이는데,

분자를 0으로 만드는 자리는 꼼짝하지 않거든요.

움직이는 것과 멈춰 있는 것이

정확히 만나는 순간이 t = 3/2이고,

그 순간 두 근이 겹쳐야(중근이어야) 한다.

이 한 줄을 읽어내는 게 문제의 전부였어요.

조건을 식으로 옮기는 데까지는

대부분의 아이가 해냈을 거예요.

필요한 건 그다음 한 걸음,

"이 식에서 무엇이 움직이지?" 하고

한 번 더 묻는 습관입니다.

21번 · 미분가능성 (4점)

f(x)로 만든 함수 g(x)에

절댓값이 붙은 함수를 더했을 때,

그래프가 어디서도 꺾이지 않도록

(미분가능하도록) 만드는 문제예요.

"계산은 했는데, 방향을 잃었어요."

이 문제는 계산보다 설계가 먼저였어요.

g(x)는 딱 한 곳에서만 꺾입니다.

그렇다면 절댓값 함수가 꺾이는 곳도

바로 그 한 곳이어야

두 꺾임이 서로를 메워줄 수 있어요.

이 '짝 맞추기'가 눈에 들어오면

a는 1, 2, 3 가운데 하나로 좁혀지고

나머지는 경우를 나누어 따라가면 됩니다.

반대로 이 구조를 보지 못하면

성실하게 계산할수록 길은 더 멀어져요.

"출제자는 왜 이 두 함수를 더했을까?"

펜을 들기 전에 이 질문을 던진 아이에게

문이 열렸던 문제입니다.

22번 · 지수·로그함수 (4점)

직사각형의 네 꼭짓점이

지수함수, 로그함수, 이차함수 두 개 위에

흩어져 있는 문제예요.

"식이 달라 보여서 못 봤어요."

겉모습은 전혀 다른 두 이차함수지만

사실은 한 포물선을

오른쪽으로 1, 아래로 1 옮겨 놓은 사이였어요.

이 관계가 보이는 순간

직사각형 한 변의 기울기가 1로 정해지고,

그 뒤로는 계산이 물 흐르듯 이어집니다.

관계가 보이지 않으면

네 점의 좌표를 하나씩 쫓느라

시간이 한없이 길어지고요.

같은 문제가

누군가에게는 5분,

누군가에게는 20분이었을 거예요.

그 차이는 계산 실력이 아니라

보는 순서에서 나왔습니다.

④ 의외의 복병

14번 · 거듭제곱근 (4점)

어려운 개념은 하나도 없는데

시간을 가장 조용히 가져간 문제예요.

k가 1, 8, 27, 64처럼

어떤 자연수의 세제곱일 때만 값이 달라진다.

이것만 정리하면 구간을 나눠 세면 끝나요.

그런데 하나씩 대입하며 규칙을 찾기 시작하면

"풀리긴 풀리는데 너무 오래 걸려요"가 됩니다.

그렇게 흘려보낸 몇 분이

뒤쪽 21번, 22번 앞에서

아쉬움으로 돌아왔을 수 있어요.

20번 · 삼각함수 빈칸 추론 (4점)도 결이 같아요.

두 그래프가 어떤 점과 어떤 직선을 기준으로

접힌 듯 마주 보는지(대칭성)만 보면

빈칸이 금세 채워지는데,

좌표를 일일이 구하려 들면

한참을 돌아가게 되는 문제였습니다.

⑤ 단답형, 문항 간 온도 차

공통과목 단답형 16~19번은

로그방정식, 부정적분, 수열, 접선.

개념을 차분히 확인하는 문제들이었어요.

이 구간은 시간을 아껴

반드시 가져와야 하는 자리입니다.

같은 단답형이라도 20~22번은 온도가 달랐어요.

대칭, 짝 맞추기, 평행이동.

앞에서 말씀드린

'구조를 보는 눈'이 있어야 풀리는 문제들이었죠.

선택과목에서도 같은 흐름이 이어졌어요.

확률과 통계 28번은

카드를 바꿨다가 제자리로 돌아오는 상황을

"두 번 가서 두 번 돌아온다"는 대칭으로 읽어내는 문제였고,

30번은 복잡해 보이는 합이

사실 '표본평균을 제곱한 값의 기댓값'이라는 걸

알아보는 문제였어요.

미적분 30번은

역함수의 적분을 다른 변수로 바꿔 보고(치환),

삼각함수의 주기까지 엮어내는

여러 단원을 한 번에 꿰는 문제였고요.

기하 29·30번은

쌍곡선과 타원의 정의, 벡터의 내적을

그림으로 옮길 수 있는지를 물었습니다.

과목은 달라도 질문은 하나였어요.

공식을 기억하느냐가 아니라,

식이 무슨 말을 하는지 읽을 수 있느냐.

⑥ 그래서, 수능까지는 이렇게 준비합니다

 

하나. 앞번호를 '안전하게' 가져오기

촘촘한 시험에서는

틀리지 않는 것이 곧 실력입니다.

1~13번, 16~19번을

시간 안에, 정확하게 끝내는 연습.

남은 두 달 동안 가장 확실하게 쌓이는 점수예요.

둘. 식을 세운 뒤 '무엇이 움직이는지' 보기

15번과 21번은

조건을 식으로 옮기는 데까지는

많은 아이들이 잘 따라왔어요.

그다음 한 걸음,

식 안에서 변하는 것과 변하지 않는 것을 가려보는 연습이

이런 문제를 내 것으로 만들어 줍니다.

셋. 계산하기 전에 '관계'부터 찾기

22번의 평행이동, 20번의 대칭,

확률과 통계 30번의 기댓값.

이번 시험은 곧장 계산에 뛰어든 아이보다

한 박자 멈춰 관계를 살핀 아이에게

더 너그러웠어요.

풀이를 외우기보다

"왜 이렇게 풀었는지"를

자기 말로 설명해 보게 해주세요.

이 힘은 그렇게 가장 빨리 자랍니다.

마무리하며

모의평가는 판정이 아니라 예고예요.

아이가 어느 문제 앞에서 시간을 썼는지,

어떤 문장에서 걸음을 멈췄는지.

그걸 알게 되었다면

9월 모의평가는 제 할 일을 다 한 셈입니다.

저희는 오래 이렇게 믿어 왔어요.

아이가 문제를 스스로 설명할 수 있을 때,

그 개념은 비로소 아이의 것이 된다고요.

성적표를 받아 든 이번 주,

점수보다 먼저

"어느 문제가 제일 아까웠어?" 하고

한 번 물어봐 주세요.

그 대답 속에

남은 두 달이 들어 있을 거예요.

강의하는아이들이었습니다.