외심일까요, 내심일까요?

 

이번 중동중 2학년 시험지를 펼치면

이 질문을 몇 번이고 다시 받게 됩니다.

 

외심과 내심은

교과서에서 따로따로 배울 때는 어렵지 않은데,

 

사각형 그림 속에 섞여 나오고,

종이를 접은 선 위에 숨어 있으면

갑자기 낯설어지거든요.

 

안녕하세요, 강의하는아이들입니다. ^^

 

이번 시험 20문항을 하나하나 직접 풀어 보며,

아이들이 어디에서 오래 머물렀는지

어머님과 함께 차근차근 살펴보려 합니다.

 

 

① 시험 한눈에 보기

 

 

◈ 시험범위 : 삼각형의 성질 ~ 사각형의 성질

◈ 문항 수 : 총 20문항 (객관식 16 + 서답형 4)

◈ 서답형 구성 : 답만 쓰는 단답형 2문항 + 풀이를 쓰는 서술형 2문항

◈ 배점 : 총 100점 (모든 문항 5점, 객관식 80점 + 서답형 20점)

 

이번 시험의 가장 큰 특징은

20문항이 모두 똑같이 5점이었다는 점입니다.

 

쉬운 1번도 5점,

가장 어려운 13번도 5점이에요.

 

그래서 어려운 문제를 하나 더 맞히는 것만큼

기본 문제에서 실수하지 않는 것이

그대로 점수가 되는 시험이었습니다.

 

 

▶ 단원별 비중

 

· 삼각형의 외심과 내심 : 7문항

· 여러 가지 사각형 : 7문항

· 평행사변형 : 3문항

· 이등변삼각형과 직각삼각형의 합동 : 2문항

· 평행선과 넓이 : 1문항

 

외심·내심과 여러 가지 사각형이

각각 7문항으로 시험의 중심이었어요.

 

특히 외심·내심은 삼각형 문제에서만 나온 게 아니라,

직사각형이나 종이접기 그림 속에서도

계속 다시 등장했습니다.

 

 

② 난이도 숫자로 읽어보면

 

 

◎ 하 : 4개

◎ 중 : 7개

◎ 중상 : 5개

◎ 상 : 5개

◎ 최상 : 1개

 

※ 서답형 2번과 4번은 소문항이 나뉘어 있어, 소문항까지 따로 세어 22개로 정리했습니다.

※ 난이도는 강의하는아이들이 문항을 직접 풀어보고 판정한 기준입니다.

 

22개 중 16개(약 73%)는 중상 이하로,

교과서와 유형서에서 한 번쯤 만나본 문제들이었어요.

 

1번 이등변삼각형의 밑각,

3번 직각삼각형의 합동,

4번 외심·내심과 각의 크기,

6~8번 여러 가지 사각형의 대각선처럼

단원의 핵심 성질을 정확히 알고 있으면

차분히 풀 수 있는 문항들입니다.

 

상 이상은 6개였고,

그중 4개(10·11·13·16번)가

외심·내심을 활용하는 응용 문제였어요.

 

여기서 아쉬움이 남은 아이들도

너무 걱정하지 않으셔도 됩니다.

 

외심과 내심의 성질을 몰라서가 아니라,

아직 '그림 속에서 외심·내심을 알아보는' 연습이

덜 되었을 뿐이에요.

이 연습은 지금부터 해도 충분히 따라갈 수 있습니다.

 

 

③ 점수가 갈린 문항

 

 

◎ 13번 | 직사각형 속 네 외심이 만드는 사각형 (5점 · 최상)

직사각형의 두 대각선이 만나는 점을 O라 할 때,

대각선으로 나뉜 네 삼각형의 외심을 이어 만든

사각형의 넓이를 묻는 문제입니다.

 

이번 시험에서 가장 생각할 거리가 많은 문항이었어요.

 

출발점은 'AD와 AO의 길이가 같다'는 조건입니다.

직사각형의 대각선은 서로를 같은 길이로 나누기 때문에,

이 조건에서 삼각형 AOD가 정삼각형이라는 걸 알아차려야 해요.

 

그다음에는 정삼각형과

한 각이 120°인 삼각형의 외심이

각각 어디에 생기는지까지 따라가야 답이 나옵니다.

 

"주어진 길이 조건이 어떤 특별한 삼각형을 만들지?"

한 번 멈춰 묻는 습관이

이 문항의 실마리였습니다.

 

 

◎ 10번 | 종이접기와 외심 (5점 · 상)

이등변삼각형 모양의 색종이를

두 번 접었다 편 뒤,

접은 선이 만나는 점 P를 이용해 각을 구하는 문제입니다.

 

그림만 보면 외심이라는 말이 어디에도 없어요.

 

그런데 두 변이 겹치도록 접은 선은 '각의 이등분선',

두 점이 겹치도록 접은 선은 '수직이등분선'이라는 걸 떠올리면

점 P가 바로 외심이라는 게 보입니다.

 

여기까지 오면 나머지는

외심의 성질로 차분히 풀리는 문제예요.

 

"접는다"는 말을

수학 용어로 바꿔 읽는 연습,

그게 이 문항이 짚어준 부분입니다.

 

 

◎ 16번 | 세 삼각형의 내심이 만드는 삼각형 (5점 · 상)

가로 6, 세로 4인 직사각형을

윗변의 중점 M과 이어 세 삼각형으로 나누고,

세 삼각형의 내심을 이은 삼각형의 넓이를 묻는 문제입니다.

 

내접원의 반지름을 구하는 방법은 다들 알고 있어요.

다만 그 방법을 세 번 연속으로,

그리고 내심의 위치를 정확히 잡아 가며 써야 해서

중간에 길을 잃기 쉬웠습니다.

 

이런 문제는 머릿속으로 하지 말고,

반지름을 구할 때마다 그림 위에 바로 적어 두는 습관이

가장 큰 힘이 됩니다.

 

 

④ 의외의 복병

◎ 11번 | 그림 속에만 있는 조건 (5점)

 

외심 O와 내심 I가 함께 있는 삼각형에서

∠OAI = 23°일 때 ∠B를 구하는 문제입니다.

 

문제 문장만 보면 조건이 하나뿐이라

"이걸로 어떻게 구하지?" 하고 멈춘 아이들이 많았을 거예요.

 

사실 필요한 조건 하나(∠ACB = 80°)는

문장이 아니라 그림에 표시되어 있었습니다.

 

그림을 꼼꼼히 읽은 아이라면

외심과 내심의 각을 각각 식으로 나타내

충분히 해결할 수 있는 문제였어요.

 

"문장에 없으면 그림을 다시 본다",

이 작은 습관 하나가 5점을 지켜 줍니다.

 

 

◎ 15번 | 직사각형이 되는 조건이 '아닌' 것 (5점)

사각형의 대각선 위의 한 점 O에서

네 꼭짓점까지의 거리가 모두 같을 때,

직사각형이 되는 조건이 아닌 것을 고르는 문제입니다.

 

보기 다섯 개를 모두 확인해야 해서

시간이 꽤 드는 문항이었어요.

 

이 조건이 무엇을 뜻하는지,

즉 "점 O가 다른 대각선 위에도 있어야 한다"는 핵심을 잡으면

보기 하나하나가 훨씬 빠르게 판별됩니다.

 

이 밖에도 5번(정답 3개), 7번(정답 2개)처럼

'모두 고르기' 문항이 있어,

보기를 끝까지 확인하는 꼼꼼함이 필요한 시험이었습니다.

 

 

⑤ 서답형 문항마다 난이도 차이가 컸어요

서답형은 4문항, 각 5점이었습니다.

소문항까지 나누어 보면 난이도 폭이 넓어요.

 

· 서답형1 평행사변형 내각의 이등분선과 넓이의 비 → 상

· 서답형2 (1) 외심일 때 항상 옳은 것 고르기 → 중

· 서답형2 (2) 내심일 때 항상 옳은 것 고르기 → 중상

· 서답형3 평행사변형이 되는 조건 두 가지 (서술형) → 중상

· 서답형4 (1) 평행선과 삼각형의 넓이 (서술형) → 하

· 서답형4 (2) 직각삼각형 합동으로 넓이 설명 (서술형) → 중

 

서답형1번과 2번은 부분 점수가 없는 단답형이라,

답 하나를 정확히 써야 점수가 됩니다.

 

특히 서답형2번은

외심과 내심의 성질 8개 중 항상 옳은 것을 '있는 대로' 고르는 문제인데,

'x + y + z = 90°'는 외심과 내심 모두에서 성립해서

한쪽에만 고르고 아쉬워한 아이들이 많았을 거예요.

 

서술형 3번은

평행사변형이 되는 조건을 '서로 다른 두 가지'로 설명해야 하고,

4번은 빈칸에 합동의 근거를 정확한 용어로 채워야 했습니다.

 

머릿속으로는 알고 있어도

"두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다"처럼

교과서 문장 그대로 쓰지 못하면 감점되기 쉬운 문항들이에요.

 

 

⑥ 그래서 다음 시험은 이렇게 준비합니다

 

 

1. 외심과 내심을 나란히 놓고 비교하기

외심은 세 꼭짓점에서, 내심은 세 변에서 같은 거리에 있습니다.

 

이 차이에서 나오는 성질들을

한 표에 나란히 정리해 두면,

서답형2번이나 4번, 11번 같은 문제 앞에서

헷갈리지 않게 됩니다.

 

 

2. 그림 속에 숨은 도형 찾기

10번의 접은 선, 13번의 대각선,

9번의 같은 길이 조건처럼

외심·내심·이등변삼각형은

이름 없이 그림 속에 숨어 나옵니다.

같은 길이, 같은 각을 그림 위에 직접 표시하며

"여기에 숨은 도형은 무엇일까?"를 찾는 연습이 필요해요.

이 습관은 3학년 원의 성질 단원까지 그대로 이어집니다.

 

 

3. 근거를 정확한 문장으로 쓰기

평행사변형이 되는 조건 다섯 가지,

직각삼각형의 합동 조건(RHA, RHS)을

교과서 문장 그대로 말하고 쓸 수 있게 연습합니다.

 

"~이므로 ~이다"처럼

이유를 한 줄씩 붙여 쓰는 연습을 꾸준히 해 두면

서술형에서 흔들리지 않게 됩니다.

 

 

 

도형 단원의 시험지는

아이가 무엇을 외웠는지보다

무엇을 '볼 수 있는지'를 보여 줍니다.

 

같은 외심이라도

교과서 그림에서는 바로 보이고,

접힌 종이 위에서는 한참을 찾아야 하니까요.

 

아이가 그림을 가리키며

"여기가 외심이라서 이 길이들이 같아요"라고

스스로 설명할 수 있게 되면,

그 개념은 어떤 그림 속에서도 아이 눈에 들어옵니다.

 

기말고사까지 남은 시간,

우리 아이가 낯선 그림 앞에서도 차분히 연필을 들 수 있도록

강의하는아이들이 곁에서 함께 하겠습니다.