10월의 끝자락,
고2 아이들에게 이 시기는 조금 특별합니다.

 

고3이 되기 전 남은 내신이
손에 꼽을 만큼 줄어들었다는 걸
아이들도 어렴풋이 느끼기 시작하거든요.

 

그 한가운데 놓인 시험이
처음으로 극한과 미분을 다룬 미적분Ⅰ이었습니다.

 

안녕하세요, 강의하는아이들입니다. ^^

 

숙명여고 미적분Ⅰ 중간고사 23문항을
하나하나 직접 풀어 보며
어디에서 시간이 걸리고, 어디에서 점수가 갈렸는지
어머님께서 편하게 읽으실 수 있도록 정리해 보았습니다.

 

 

① 시험 한눈에 보기

 

 

◈ 과목 : 미적분Ⅰ

◈ 범위 : 함수의 극한과 연속 ~ 미분 (미분계수·도함수·접선)
◈ 문항 수 : 총 23문항 (객관식 15 + 단답형 8)
◈ 배점 : 총 100점 (객관식 60점 + 단답형 40점)
◈ 문항별 배점 : 객관식 3.3점 → 4.7점, 단답형 4.6점 → 5.4점

 

가장 눈에 띄는 점은
단답형 8문항이 40점이나 된다는 것입니다.

 

단답형은 답만 쓰는 문제라
풀이가 거의 맞았어도
마지막 숫자 하나가 다르면 점수를 받을 수 없어요.

 

그래서 이번 시험은
"끝까지 정확하게 계산해 내는 힘"이
객관식보다 훨씬 크게 작용했습니다.

 

▶ 단원별 비중

 

· 함수의 극한 : 7문항
· 함수의 연속 : 6문항
· 미분 (미분계수·도함수·접선) : 10문항

 

미분이 10문항으로 가장 많았고,
극한과 연속도 고르게 나왔어요.

 

특히 연속 단원은
'개수가 바뀌는 순간이 곧 끊기는 곳'이라는 생각을 묻는 문제로
단답형 마지막 두 문항을 차지했습니다.

 

 

② 난이도 숫자로 읽어보면

 

 

◎ 하 : 5문항
◎ 중 : 4문항
◎ 중상 : 5문항
◎ 상 : 6문항
◎ 최상 : 3문항

 

※ 난이도는 강의하는아이들이 문항을 직접 풀어보고 판정한 기준입니다.

 

23문항 중 14문항(약 61%)은 중상 이하로,
교과서와 유형서에서 자주 만나는 문제들이었어요.

 

분수 꼴 함수의 극한, 그래프에서 극한값 읽기,
미분계수의 정의, 접선의 방정식, 곱의 미분법처럼
개념을 정확히 알고 있으면 차분히 풀 수 있는 문항들입니다.

 

다만 상 이상 9문항(객관식 11~15번, 단답형 5~8번)의 배점을 더하면 43.5점,
점수의 절반 가까이가 시험지 뒷부분에 모여 있었어요.

 

뒷부분에서 아쉬움이 남았더라도
너무 걱정하지 않으셔도 됩니다.

 

이 문항들은 공식을 몰라서 막히는 문제가 아니라,
조건을 그림이나 식으로 옮겨 보는 연습이
아직 충분히 쌓이지 않았을 때 멈추게 되는 문제들이에요.
이 연습은 지금부터 시작해도 충분히 따라갈 수 있습니다.

 

 

③ 점수가 갈린 문항

 

 

◎ 15번 | 꺾인 곳을 서로 메워 주는 함수 (4.7점 · 최상)

 

이차함수로 만든, 군데군데 꺾인 함수에
절댓값이 들어간 식을 더해서
전체가 '매끄럽게' 이어지도록 만드는 문제입니다.

 

여기서 '매끄럽다'는 것은
그래프에 뾰족한 모서리가 없다는 뜻이에요.
수학에서는 이것을 미분가능하다고 부릅니다.

 

아이들이 많이 아쉬워하는 지점은
두 함수가 각각 꺾이는 위치와 꺾이는 정도를
따로따로만 보고 있다는 점이에요.

 

실마리는 "한쪽의 꺾임을 다른 쪽이 정확히 반대로 펴 주면
모서리가 사라진다"는 생각입니다.
꺾이는 위치가 같아야 하고, 꺾이는 정도가 서로 상쇄되어야 하죠.

 

식을 바로 미분하기보다
꺾이는 점에서 왼쪽 기울기와 오른쪽 기울기를
나란히 적어 보는 습관이 큰 힘이 됩니다.

 

 

◎ 13번 | 양쪽에서 꼭 맞닿는 부등식 (4.5점 · 상)

미지의 삼차함수로 만든 식이
두 다항식 사이에 끼어 있다는 조건만으로
삼차함수를 찾아내는 문제입니다.

 

처음 보면 무엇을 해야 할지 막막한 문항이에요.

 

첫 번째 실마리는
세 식이 모두 같은 값이 되는 점을 찾는 것이고,
두 번째 실마리는
"위아래에서 한 점에 꼭 맞닿으면 그 점에서 기울기까지 같아야 한다"는 사실입니다.

 

이 두 번째 생각이 떠오르면
조건이 바로 미분계수에 대한 식으로 바뀌면서
문제가 풀리기 시작해요.

 

극한 단원에서 배운 '샌드위치' 원리를
미분과 연결해 보는 문제였습니다.

 

 

◎ 단답형8번 | 삼각형 안의 점 개수가 바뀌는 순간 (5.4점 · 최상)

 

t에 따라 크기가 변하는 삼각형 안에
좌표가 모두 자연수인 점이 몇 개 들어 있는지를
함수로 보고, 그 함수가 끊기는 t를 모두 찾는 문제입니다.

 

이번 시험에서 가장 끝까지 따라가야 하는 문항이었어요.

 

열쇠는 "점이 삼각형의 빗변 위에 딱 올라서는 순간,
개수가 한 번에 바뀐다"는 점입니다.
즉, 개수가 바뀌는 순간이 곧 함수가 끊기는 순간이에요.

 

그런 순간이 모두 7번 있는데,
하나라도 빠뜨리면 답이 달라집니다.
게다가 답이 무리수 꼴로 나와서
마지막 계산까지 꼼꼼해야 했어요.

 

높이(y좌표)별로 나누어 표를 만들고
빠짐없이 채워 가는 방식이 가장 안전합니다.

 

 

④ 의외의 복병

◎ 10번 | 전기 요금표 속 불연속 (4.2점)

실제 전기 요금표를 함수로 바꾸어
요금이 '뚝 끊기는' 사용량을 찾는 문제입니다.

 

요금표에는 구간 경계가 세 군데 있지만,
그중 한 곳에서는 기본요금이 바뀌지 않아
그래프가 그대로 이어져요.

 

표만 보고 "경계가 셋이니 끊기는 곳도 셋"이라고 생각하면
답이 달라지는 문제였습니다.

 

계산은 어렵지 않지만,
경계마다 왼쪽 값과 오른쪽 값을 실제로 계산해 보는
꼼꼼함이 필요했어요.

 

 

◎ 단답형4번 | 접선이 세 개 나오는 문제 (4.9점)

곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선 중
조건에 맞는 하나의 기울기를 구하는 문제입니다.

 

접점을 미지수로 두고 식을 세우면
접점 후보가 세 개나 나와요.

 

여기서 끝내지 않고
"x절편이 양수"라는 조건으로 하나를 골라내야 하는데,
시간에 쫓기면 처음 나온 값을 그대로 쓰기 쉽습니다.

 

단답형은 부분 점수가 없으니,
답을 쓰기 전에 문제의 조건을 한 번 더 대조하는 습관이
그대로 점수로 이어지는 문항이었어요.

 

 

⑤ 단답형 난이도 차이가 컸어요

단답형 8문항은 앞뒤 난이도 차이가 아주 컸습니다.

 

· 단답형1 0/0 꼴 극한과 미정계수 → 하
· 단답형2 곱의 미분법 → 하
· 단답형3 무리식의 극한 (∞-∞ 꼴) → 중상
· 단답형4 곡선 밖의 점에서 그은 접선 → 중상
· 단답형5 함수방정식과 도함수 → 상
· 단답형6 구간별로 정의된 함수의 연속 → 상
· 단답형7 교점 개수 함수의 연속 → 최상
· 단답형8 격자점 개수 함수의 불연속 → 최상

 

앞의 두 문항은
교과서 기본 문제 그대로라 꼭 챙겨야 하는 점수였고,
3·4번은 익숙한 유형이지만 계산과 조건 확인이 필요했어요.

 

5번부터는 한 문항에 5점이 넘는 배점이 이어지며
조건을 해석하는 힘이 본격적으로 필요했습니다.

 

특히 7번은
그래프와 꺾인 직선이 만나는 점의 개수가
언제 바뀌는지를 표로 정리해야 했고,
8번은 앞에서 말씀드린 것처럼 답이 무리수 꼴이었어요.

 

풀이가 길어질수록
마지막에 숫자 하나가 흔들리기 쉬운데,
단답형에서는 그 한 번이 고스란히 점수에 남습니다.
평소에 마지막 답을 검산하는 습관이 특히 중요했던 이유예요.

 

 

⑥ 그래서 다음 시험은 이렇게 준비합니다

 

 

1. 꺾이는 점, 맞닿는 점을 그림으로 보는 연습

15번의 미분가능성, 13번의 부등식 조건처럼
"이 점에서 무슨 일이 일어나지?"를 묻는 문제가 많았어요.

 

식을 바로 계산하기보다
그 점 근처의 그래프를 먼저 그려 보면
조건이 어떤 식으로 바뀌어야 하는지 훨씬 또렷해집니다.

 

이 감각은 기말고사의 미분 활용 단원으로
그대로 이어집니다.

 

 

2. 개수가 바뀌는 순간을 표로 정리하는 연습

단답형7·8번처럼
'개수'를 함수로 다루는 문제는
개수가 바뀌는 순간을 빠짐없이 찾는 것이 전부라고 해도 될 만큼 중요해요.

 

값을 조금씩 바꿔 가며
"여기서 몇 개, 여기서 몇 개"를 표에 적어 보는 연습을
꾸준히 해 두면 막연함이 많이 줄어듭니다.

 

 

3. 답을 쓰기 전에 조건으로 한 번 더 걸러내는 연습

 

10번의 요금표 경계, 단답형4번의 x절편 조건처럼
조건 하나가 답을 바꾸는 문제가 여럿 있었어요.

 

부분 점수가 없는 단답형이 40점인 만큼,
답을 쓰기 직전에 문제의 조건을 다시 읽고
답과 하나씩 맞춰 보는 30초가 큰 차이를 만듭니다.

 

 

 

미적분Ⅰ은 공식을 아는 것만으로는
점수가 끝까지 올라가지 않는 과목입니다.

 

꺾이는 점과 맞닿는 점을 그림으로 떠올리고,
"그래서 여기서는 기울기가 같아야 해요"라고
자기 말로 설명할 수 있을 때
극한과 미분은 비로소 아이의 것이 됩니다.

 

이번 시험지는
지난 점수를 매기는 종이라기보다
기말고사까지 무엇을 채우면 좋을지 알려 주는 안내서에 가깝다고 생각해요.

 

고3을 앞둔 소중한 이 겨울 문턱에서,
우리 아이가 긴 조건 앞에서도 한 걸음씩 따라가 볼 수 있도록
강의하는아이들이 곁에서 함께 하겠습니다.