이번 진선여고 시험,

아이들은 어디에서 가장 오래 머물렀을까요?

 

답은 객관식 마지막 문항이 아니라

시험지 뒷면, 서답형이었습니다.

 

23문항 중 7문항이 서답형이었고,

그 배점만 40점이었거든요.

 

게다가 "모두 구하시오"라는 문장이

여러 번 등장했습니다.

답을 하나 찾고 안심하기에는

조금 이른 시험이었어요.

 

안녕하세요, 강의하는아이들입니다. ^^

 

23문항을 처음부터 끝까지 직접 풀어 보며

아이들이 어디에서 아쉬워했을지,

그리고 다음 시험까지 무엇을 챙기면 좋을지

어머님과 함께 차근차근 살펴보겠습니다.

 

 

① 시험 한눈에 보기

 

 

◈ 과목 : 공통수학2 (1학년)

◈ 시험범위 : 평면좌표 ~ 집합

◈ 문항 수 : 총 23문항 (객관식 16 + 서답형 7)

◈ 서답형 구성 : 답만 쓰는 단답형 6문항 + 풀이를 쓰는 서술형 1문항

◈ 배점 : 총 100점 (객관식 60점 + 서답형 40점)

 

객관식은 1번 3.4점에서 16번 4.1점까지

뒤로 갈수록 조금씩 커지고,

서답형 단답형은 4.0점부터 5.4점까지,

마지막 서술형 한 문항은 10점이었어요.

 

서답형 비중이 40점이나 되다 보니

객관식을 얼마나 차분하고 빠르게 마치고

뒷면에 시간을 남겨 두느냐가

그대로 점수로 이어지는 구조였습니다.

 

 

▶ 단원별 비중

 

· 평면좌표와 직선의 방정식 : 6문항

· 원의 방정식 : 6문항

· 도형의 이동 : 6문항

· 집합 : 5문항

 

도형의 방정식 세 단원이 6문항씩 고르게 나왔고,

집합이 5문항이었어요.

 

단원이 고르게 나뉜 대신

한 문제 안에 두 단원이 함께 들어간 경우가 많았습니다.

16번은 포물선과 원, 점과 직선 사이의 거리가,

서답형6번은 원과 이차함수, 집합 조건이

한 문제 안에 함께 들어 있었어요.

 

 

② 난이도 숫자로 읽어보면

 

 

◎ 하 : 5개

◎ 중 : 5개

◎ 중상 : 5개

◎ 상 : 7개

◎ 최상 : 1개

 

※ 난이도는 강의하는아이들이 문항을 직접 풀어보고 판정한 기준입니다.

 

23문항 중 15문항(약 65%)은 중상 이하로,

교과서와 유형서에서 한 번쯤 만나본 문제들이었어요.

 

1번 집합의 뜻,

2번 원 위의 점에서의 접선,

3번 점의 평행이동과 대칭이동,

4번 합집합의 원소의 개수,

서답형1번 수직인 직선처럼

공식을 정확히 알고 있으면

바로 풀 수 있는 문항들이 곳곳에 있었습니다.

 

상 이상 8문항은

11·12·14·15·16번과 서답형3·5·6번이었고,

배점을 합하면 35.8점이에요.

그중 서답형 세 문항만 15.8점입니다.

 

여기서 아쉬움이 남은 아이들도

너무 마음 쓰지 않으셔도 괜찮아요.

 

개념을 몰라서라기보다

"조건이 바뀌면 답이 어떻게 바뀔까"를

끝까지 따라가 보는 연습이

아직 덜 되었을 뿐이에요.

1학년 2학기인 지금 시작하면 충분히 따라갈 수 있는 부분입니다.

 

 

③ 점수가 갈린 문항

 

 

◎ 서답형5번 | 교점의 개수가 항상 일정한 원 (5.3점 · 최상)

 

한 점을 지나는 직선이

기울기를 바꾸며 빙글 돌 때,

이미 주어진 두 원과

아직 정해지지 않은 세 번째 원을 만나는

점의 개수가 항상 같도록

세 번째 원을 정하는 문제입니다.

 

이번 시험에서 가장 생각할 거리가 많은 문항이었어요.

 

첫 번째 실마리는

주어진 두 원과의 교점 수가

기울기에 따라 2개 → 1개 → 0개 → 1개 → 2개로

바뀐다는 것을 직접 그려서 확인하는 것입니다.

 

두 번째 실마리는

교점이 0개인 구간을

세 번째 원이 정확히 메워 줘야 한다는 점이에요.

그러려면 세 번째 원은

'접하는 순간'의 두 직선에 동시에 접해야 하고,

중심은 그 두 직선 사이의 각을 반으로 나누는 선 위에 놓입니다.

 

식부터 세우면 길을 잃기 쉽지만,

직선이 돌아가는 모습을 먼저 그려 보면

무엇을 찾아야 하는지가 또렷해지는 문제였어요.

 

 

◎ 15번 | a가 있으면 2a는 없는 집합 (4.1점 · 상)

1부터 9까지의 자연수 중에서

"a가 들어 있으면 2a는 들어 있지 않다"는 조건을 만족하는

부분집합의 개수를 세는 문제입니다.

 

하나씩 나열하기 시작하면

끝이 보이지 않는 문제예요.

 

열쇠는 서로 2배 관계인 수끼리

1-2-4-8, 3-6처럼 사슬로 묶는 것입니다.

5, 7, 9는 혼자 있는 수라 자유롭게 넣고 뺄 수 있고요.

 

사슬마다 "이웃한 두 수는 함께 넣지 않는다"는 규칙으로

경우를 세어 곱한 뒤,

마지막에 공집합을 빼는 것까지 챙겨야 합니다.

 

"어떤 수끼리 서로 영향을 주지?"를 먼저 묻고

묶어서 세는 습관이

경우의 수 문제 전체에서 큰 힘이 됩니다.

 

 

◎ 12번 | 넓이가 같은 점이 딱 3개일 조건 (3.9점 · 상)

원과 x축이 만나는 두 점을 밑변으로 하고,

원 위의 한 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가

정해진 값이 되는 점이

"오직 3개" 있을 조건을 찾는 문제입니다.

 

밑변이 고정되어 있으니

넓이가 같다는 건 '높이가 같다'는 뜻이에요.

높이가 같은 점은

x축과 나란한 두 직선 위에 있고요.

 

두 직선이 원과 만나는 점을 모두 합쳐 3개가 되려면

한쪽 직선은 원에 '접해야' 합니다.

 

"오직 3개"라는 말을

"한쪽은 접선"이라는 그림으로 바꿔 읽는 것,

이 한 번의 번역에서 갈린 문항이었어요.

 

 

④ 의외의 복병

◎ 14번 | 차집합 조건으로 정해지는 집합 X (4.0점)

 

조건 세 개가 모두 차집합과 여집합으로 적혀 있어서

처음 보면 어디서부터 손대야 할지 막막한 문제였어요.

 

하지만 하나씩 말로 바꿔 보면

의외로 간단해집니다.

 

A − X = B − X는

"A와 B 중 한쪽에만 있는 원소는 모두 X에 들어 있다",

두 번째 조건은

"A와 B에 공통으로 있는 원소는 X에 없다"는 뜻이에요.

 

이렇게 번역하고 나면

남는 것은 세 번째 조건에 맞게

10부터 16까지의 수 중 몇 개를 고르는 일뿐입니다.

 

기호가 낯설어서 멈췄던 아이들이라면,

식을 벤다이어그램에 색칠해 보는 연습으로

금방 익숙해질 수 있어요.

 

 

◎ 11번 | 그래프로 주어진 도형의 이동 (3.9점)

그래프로만 주어진 도형 f(x, y) = 0을

여러 번 옮긴 결과가 같은지 비교하는 문제입니다.

 

보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두

대칭이동과 평행이동을 두세 번씩 거치기 때문에,

한 번이라도 x와 y를 바꾸는 순서가 꼬이면

답이 달라지는 구조였어요.

 

결과적으로는 셋 다 같은 도형이 되지만,

그걸 확인하기까지

꽤 긴 정리가 필요해서 시간을 많이 쓴 문항이었습니다.

 

이동을 한 단계씩

"x 대신 무엇, y 대신 무엇"으로 적어 두는 습관이

실수를 가장 확실하게 줄여 줍니다.

 

 

⑤ 서답형 문항마다 난이도 차이가 컸어요

서답형은 7문항, 40점이었습니다.

 

· 서답형1 수직인 직선의 방정식 (4.0점) → 하

· 서답형2 원의 평행이동과 두 축에 접하는 원 (5.0점) → 중

· 서답형3 직사각형을 나누는 직선 (5.1점) → 상

· 서답형4 절댓값 그래프로 둘러싸인 넓이 (5.2점) → 중상

· 서답형5 교점의 개수가 항상 일정한 원 (5.3점) → 최상

· 서답형6 두 원의 공통접선과 이차함수 (5.4점) → 상

· 서답형7 직선 위의 점과 무게중심, 거리 (서술형 10점) → 중

 

같은 서답형 안에서도

바로 쓸 수 있는 문제와

한참을 그려 봐야 하는 문제가 섞여 있었어요.

 

특히 단답형은 답이 여러 개인 문항이 많았습니다.

 

서답형2번은 순서쌍 (a, b)가 네 개,

서답형3번은 조건에 맞는 직선이 두 개였어요.

하나만 쓰고 넘어가면

아는 문제에서 점수가 아쉽게 빠질 수 있습니다.

 

서답형4번은 최댓값과 최솟값 중

하나만 맞아도 부분 점수가 있었지만,

둘러싸인 부분이 직사각형이라는 것만 알아차리면

두 값을 모두 챙길 수 있는 문제였어요.

 

서술형인 서답형7번은

직선 AB 위에서 조건을 만족하는 점 C가

B의 양쪽에 하나씩 생긴다는 데서 출발합니다.

 

채점 기준이 (1) 첫 번째 점, (2) 두 번째 점,

(3) 무게중심, (4) 거리 순서로 나와 있었기 때문에,

그 순서 그대로 한 단계씩 써 내려가면

채점하시는 선생님께도 생각의 흐름이 또렷하게 전달됩니다.

 

 

⑥ 그래서 다음 시험은 이렇게 준비합니다

 

 

1. 움직이는 직선을 그림으로 그려 보기

기울기가 바뀌면서 교점의 개수가 달라지는 상황,

점의 개수가 "오직 몇 개"인 조건은

식보다 그림이 먼저입니다.

 

직선을 조금씩 돌려 보며

"접하는 순간"이 언제인지를 찾는 연습을 하면

12번, 서답형5번 같은 문제가 훨씬 덜 낯설어져요.

 

 

2. 집합 조건을 포함 관계로 바꿔 읽기

A − X = B − X,

X − (A ∩ B)ᶜ = ∅처럼

기호로 적힌 조건을

"어떤 원소는 반드시 들어가고, 어떤 원소는 들어가면 안 된다"는

말로 바꿔 보는 연습이 필요해요.

 

이 번역 습관은

기말고사에서 이어지는 명제 단원까지 그대로 이어집니다.

 

 

3. 답을 모두 찾고, 과정은 단계별로 쓰기

이번 시험은 6번(k 값 두 개 중 음수 고르기),

서답형2·3번(답 여러 개),

서답형7번(점 C 두 개)처럼

경우가 둘 이상 생기는 문제가 많았어요.

 

답을 하나 구했을 때

"혹시 반대쪽도 될까?"를 한 번 더 묻고,

서술형은 채점 기준의 순서대로 차근차근 쓰는 습관이

아는 문제의 점수를 지켜 줍니다.

 

 

 

시험지는 지난 몇 주의 공부를 보여 주기도 하지만,

그보다 다음 몇 주를 어떻게 보내면 좋을지를

더 분명하게 알려 줍니다.

 

이번 진선여고 시험이 알려 준 것은

'답을 하나 찾았을 때 멈추지 않는 힘'이었어요.

 

아이가 그림을 가리키며

"여기서 접하니까, 이쪽은 하나고 저쪽은 두 개예요"라고

자기 말로 설명할 수 있게 되면,

그 개념은 어떤 문제 속에서도 아이의 것이 됩니다.

 

기말고사까지 남은 시간,

우리 아이가 긴 조건 앞에서도 끝까지 따라가 볼 수 있도록

강의하는아이들이 곁에서 함께 하겠습니다.