안녕하세요, 수학전문학원 강의하는아이들입니다.

2026학년도 1학기 기말고사가 끝났습니다.

중3의 1학기는 고등 수학으로 건너가는 마지막 다리 같은 시간이라,

이번 시험 결과를 어떻게 읽어야 할지 고민이 많으실 텐데요.

오늘은 도곡중학교 3학년 1학기 수학 기말고사를

문항 하나하나 분석한 결과를 나눠드리려 합니다.

먼저 이번 시험의 성격을 한 줄로 정리하면 이렇습니다.

"최고난도 킬러는 없었다. 대신 '상' 문항이 열 개였다."

한 문제로 승부가 갈린 시험이 아니라,

폭넓게 깔린 상 문항을 몇 개나 걷어냈느냐가 점수를 만든 시험입니다.

① 시험, 한눈에 보기

 

이번 시험의 기본 구성부터 정리해 드리겠습니다.

· 시험 범위 : 이차방정식(풀이·근의 공식·활용) ~ 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프

· 문항 수 : 총 25문항 (선택형 21 + 서술형 4)

· 배점 : 선택형 80점 + 서술형 20점 = 100점

· 특이사항 : 복수정답 문항 2개(7번·14번), 서술형 1~3번이 하나로 이어지는 세트 구성

눈여겨보실 부분은 단원 배치입니다.

후반부 16~21번, 즉 이차함수 그래프 구간에 '상' 난도 문항이 몰려 있었습니다.

시험지 뒷부분에 어려운 문항이 연달아 나오는 구조라,

앞에서 시간을 아껴두지 못한 학생은

풀 수 있는 문제조차 손대지 못했을 가능성이 있습니다.

② 난이도, 숫자로 읽어보면

 

25문항의 난이도 분포는 다음과 같습니다.

하 1개 · 중 8개 · 중상 6개 · 상 10개 · 최상 0개

숫자에서 두 가지가 눈에 띕니다.

하나, '최상'이 없습니다.

최상위권 한두 명만 푸는 킬러 문항 없이 출제된 시험입니다.

둘, 대신 '상'이 10문항, 전체의 40%입니다.

난이도의 벽이 한 곳에 높이 서 있는 게 아니라,

넓고 고르게 깔려 있는 구조입니다.

정리하면 이렇습니다.

중상 이하 15문항(60%)은 개념의 정확성으로 확보하는 구간입니다.

근의 공식, 완전제곱, 그래프의 기본 성질을 정확히 익혔다면 지킬 수 있었습니다.

그 위는 '상 10문항을 몇 개 걷어냈는가'의 싸움입니다.

80점대와 90점대의 차이는 한 문제의 천재성이 아니라,

상 문항 서너 개를 안정적으로 처리하는 폭에서 나왔습니다.

우리 아이 점수가 70~80점대라면,

"어려운 한두 개를 못 푼 것"이 아니라

상 문항 전반에 대한 대응력이 아직 좁은 상태일 수 있습니다.

이 구분이 2학기 학습 방향을 정하는 기준이 됩니다.

③ 점수가 갈린 세 문항

 

상 10문항 중에서도 이번 시험의 성격을 가장 잘 보여주는

세 문항을 골라 짚어드립니다.

◾ 5번 - 2026²이 숨어 있는 문제

2025×2027 = 2026²−1.

이 구조를 발견해야 인수분해가 열리는 문항입니다.

계산으로 밀어붙이면 수가 너무 커서 길을 잃습니다.

"이 숫자, 어떤 꼴로 볼 수 있을까"를 먼저 묻는 습관,

즉 수의 구조를 보는 눈이 있어야 접근할 수 있었습니다.

연도를 활용한 신유형이라 처음 보는 학생이 많았을 문항입니다.

◾ 21번 - 조건을 '좌표'로 번역하는 문제

선분의 3등분점과 꼭짓점 조건을 결합해

이차함수의 계수를 확정해야 하는 문항입니다.

문장으로 주어진 조건을 좌표로 옮기고,

대칭성까지 활용해야 풀이가 열립니다.

후반부 함수 상 문항 러시(16~21번)의 정점에 있던 문제로,

시간 압박 속에서 조건을 침착하게 해석한 학생만 잡을 수 있었습니다.

◾ 서술형 1번 —-데카르트가 등장한 문제

17세기 데카르트의 작도법에서 이차방정식의 해를 유도하는,

기하와 대수가 융합된 문항입니다. 배점도 7점으로 이번 시험 최고입니다.

접선과 할선의 관계(또는 피타고라스 정리)로 길이를 유도해야 하는데,

교과서 유형 훈련만으로는 손이 나가지 않는 구성입니다.

수학사 소재의 융합 문항은 도곡중 서술형의 방향성을 보여주는 출제로,

앞으로도 대비가 필요한 유형입니다.

이 외에 7번(곱셈공식과 조건 판별), 9번(인수분해와 확률의 연결),

14번(규칙 발견과 소인수분해), 20번(홀짝 규칙 추론)도

정형화된 유형 밖에서 수학적 아이디어를 요구하며 변별에 기여했습니다.

④ 의외의 복병 - 시간을 잡아먹은 문제들

이번 시험의 또 다른 축은 '후반부 시간 배분'이었습니다.

· 16~21번 : 이차함수 상 난도 문항이 여섯 개 연속 배치

· 9번 : 1~100 중 조건을 만족하는 수를 빠짐없이 세는 확률 연결형

· 14번 : 규칙에서 값을 세운 뒤 3024를 소인수분해까지 해야 하는 문항

· 19번 : 꼭짓점·절편 좌표를 모두 구해 삼각형 넓이로 마무리

한 문항 한 문항은 풀 수 있어도,

연달아 만나면 체감 난이도가 훌쩍 올라가는 구성입니다.

앞부분(1~15번)을 빠르고 정확하게 통과한 학생과

초반에 시간을 흘린 학생의 격차가,

실력 차이 이상으로 벌어졌을 시험입니다.

⑤ 서술형 20점, 사실상 하나의 '프로젝트'였습니다

서술형은 4문항 20점.

그런데 구성이 이례적입니다. 서술형 1~3번(15점)이

데카르트 작도라는 하나의 소재로 이어지는 세트 문항입니다.

· 서술형 1번 (7점) : 작도에서 이차방정식의 해 유도 - 이번 시험 최고 배점

· 서술형 2번 (4점) : 근의 공식을 적용해 같은 값이 나오는지 확인

· 서술형 3번 (4점) : 작도 풀이의 '한계'를 두 가지 이상 논리적으로 서술

· 서술형 4번 (5점) : 그래프를 보고 계수의 부호를 근거와 함께 판정

주목할 부분은 서술형 3번입니다.

답을 구하는 문제가 아니라, 방법의 한계를 글로 설명하는 논술형입니다.

"양의 해만 구할 수 있다", "계수가 양수일 때만 가능하다" 같은

수학적 근거를 문장으로 쓸 수 있어야 점수가 나옵니다.

계산은 되는데 서술이 약한 학생이라면,

이번 서술형에서 15점 중 상당 부분이 흔들렸을 구조입니다.

⑥ 그래서, 2학기는 이렇게 준비합니다

 

이번 시험이 알려준 대비 방향은 세 가지로 정리됩니다.

1. 기본 계산 구간, '무실점' 다지기

완전제곱 변형, 근의 공식, 그래프 평행이동.

중상 이하 60% 구간은 이 세 가지의 정확도가 전부입니다.

후반부에 시간을 남겨주는 것도 결국 앞부분의 속도와 정확성입니다.

2. 신유형, '아이디어'를 꺼내는 훈련

2026²−1의 인수분해, 홀짝 추론, 규칙 발견.

이번 변별 문항들은 유형 암기가 아니라

"이 수, 이 조건을 어떤 구조로 볼까"를 물었습니다.

처음 보는 문제 앞에서 아이디어를 꺼내는 연습이 필요합니다.

3. 서술형, '근거를 문장으로' 쓰는 훈련

답이 맞아도 근거가 없으면 감점되는 것이 서술형입니다.

특히 이번처럼 방법의 한계·계수의 부호를 이유와 함께 쓰는 논술형은

평소 풀이를 말로 설명하고 글로 옮기는 훈련 없이는 대비가 되지 않습니다.

한 가지 덧붙이자면,

2학기 삼각비와 원의 성질 단원은 이번 서술형처럼

기하와 대수가 결합되는 지점이 훨씬 많아집니다.

 

그리고 그 힘은 그대로 고등 수학의 출발선이 됩니다.

중3의 2학기는, 사실상 고1의 0학기입니다.

마무리하며

시험 분석의 목적은 지난 점수를 평가하는 데 있지 않습니다.

다음 시험에서 무엇을 다르게 할지를 찾는 데 있습니다.

킬러 없이 상 문항을 넓게 깐 이번 시험은,

한 방의 재능이 아니라 넓고 단단한 실력을 물었습니다.

그 방향은 고등 내신과 정확히 같은 방향이기도 합니다.

강의하는아이들은 아이가 문제를 '설명할 수 있을 때' 비로소 그 개념이 아이의 것이 된다고 믿습니다.

이번 분석도 같은 마음으로, 문항 하나하나에서 아이들이 설명해낼 수 있어야 할 지점들을 짚어보았습니다.

이 글이 우리 아이의 여름과 2학기를 준비하시는 데 작은 나침반이 되었기를 바랍니다.

다음 분석 자료로 또 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.